Was ist die genaue Definition eines Grenzwertes in der Infinitesimalrechnung?

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Die Definition eines Grenzwerts in der Infinitesimalrechnung ist der Wert, dem eine Funktion nahekommt, aber niemals überschreitet, wenn sich die Eingabe ändert. Grenzwerte sind einer der wichtigsten Aspekte der Infinitesimalrechnung und werden verwendet, um Stetigkeit und die Werte von Funktionen im grafischen Sinne zu bestimmen.



Eine einfache Möglichkeit, sich Grenzen vorzustellen, besteht darin, sich ein Dreieck in einem Kreis vorzustellen. In der Analogie stellt der Kreis die Grenze dar, während das Dreieck die Eingabewerte oder die Funktion darstellt. Wenn sich die Eingabe in ein Quadrat, dann in ein Siebeneck und dann in ein Achteck ändert, beginnt die Form innerhalb des Kreises eher wie der Kreis um ihn herum auszusehen. In der Mathematik kann die Eingabeform einem perfekten Kreis wie dem Grenzkreis unendlich nahe kommen, aber sie kann dieses Stadium nie vollständig erreichen. Denn es gibt unendlich viele mathematische Möglichkeiten, sich dem Limit zu nähern, ohne es jemals zu erreichen.

In Graphen arbeitet die Infinitesimalrechnung mit dieser einfachen Definition von Grenzwerten und wendet sie auf Gleichungen an. Eine übliche Gleichung für den Graphengrenzwert ist lim f(x) = Zahlenwert. Der Grenzwert gilt für den Fall, in dem die Linien im Diagramm fallen. Wenn sich der Wert von x ändert, befindet sich der Zahlenwert dort, wo sich der Grenzwert (Linie) und der x-Wert schneiden.